Bilangan
Bilangan adalah simbol atau istilah yang digunakan untuk menyatakan suatu jumlah tertentu.Bilangan diperkirakan telah digunakan sekitar tahun 30.000 SM.Hal ini dibuktikan dari beberapa goresan yang terdapat pada artefak yang ditemukan.Goresan-goresan tersebut diperkirakan menunjukkan sistem turus ( tally ) yang digunakan untuk menghitung hari atau jumlah sesuatu, seperti goresan yang terdapat di dinding gua di Afrika Selatan.
Konsep bilangan dan proses berhitung berkembang dari jaman sebelum ada sejarah (artinya tidak tercatat sejarah kapan dimulainya).Mungkin bisa diperdebatkan, tapi diyakini sejak jaman paling primitif pun manusia memiliki “rasa” terhadap apa yang dinamakan bilangan, setidaknya untuk mengenali mana yang “lebih banyak” atau mana yang “lebih sedikit” terhadap berbagai benda, beberapa penelitian terhadap binatang menunjukkan binatang juga memiliki “rasa” itu.Suatu suku atau suku bangsa primitif, harus tau seberapa banyak mereka memiliki teman dan seberapa banyak musuhnya.
Sementara proses berhitung kemungkinan dimulai dari metode pencocokan sederhana, dengan prinsip korespondensi satu-satu.Sebagai contoh saat menghitung jumlah benda, satu jari untuk satu benda bisa jadi adalah asal-usulnya.Proses berhitung kemudian berkembang dengan pengumpulan tongkat kayu atau kerikil, dengan menbuat coretan di tanah atau batu, dengan membuat catatan di kulit pohon, membuat ikatan pada ranting.Dan kemungkinan pada tahap berikutnya, mereka mulai mencocokan bilangan dengan suara tertentu.
Ketika bilangan maupun proses berhitung sudah semakin penting, maka suatu suku bangsa mulai mensistematiskannya, ini dilakukan dengan mengurutkan bilangan kedalam kelompok tertentu, ukuran kelompok ditentukan oleh proses pemasangan anggota.Sederhana koq, ilustrasi metodenya begini.Misalkan sebuah bilangan, namakan b, dipilih sebagai basis untuk berhitung dan nama bilangan diurutkan oleh bilangan 1,2,….,b.Nama bilangan yang lebih besar dari b diperoleh dari kombinasi bilangan yang sudah ada.
Karena jari manusia adalah alat yang baik untuk membantu proses berhitung, tidak aneh kalau paling tepat 10 dipilih sebagai basis, nyatanya tetap dipakai sampai hari ini di sistem bilangan modern. Lihata saja 15 adalah kombinasi 1 dan 5, demikian juga bilangan lainnya yang lebih besar dari 10.
Tapi terdapat bukti-bukti bahwa bilangan lain dipakai sebagai basis. Sebagai contoh, ada penduduk asli QUEENSLAND yang berhitung “one, two, two and one, two twos, dan much” untuk bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, ini berarti 2 digunakan sebagai basis.Suku di Tierra del Fuego menggunakan 3 sebagai basis, dan suatu suku di Amerika Selatan menggunakan 4 sebagai basis.
Mudah ditebak sistem bilangan dengan basis 5, lebih dikenal dengan skala quinary (quinary scale), pernah digunakan cukup lama.Bahkan sampai hari ini, beberapa suku di Amerika Selatan menghitung menggunakan tangan, ” satu, dua, tiga, empat, tangan, tangan dan satu, tangan dan dua…” dan seterusnya.Para petani Jerman menggunakan kalender dengan basis 5 sekitar tahun 1800.
Terdapat juga bukti bahwa 12 pernah dipakai sebagai basis di jaman dulu, utamanya dalam hubungan ke ukuran. Basis 12 ini diduga dipakai dasar dalam membuat kalender.Pada gambaran lain ukuran jarak satu kaki sama dengan 12 inci, selusin itu 12, setahun 12 bulan dan lain sebagainya.
Sistem bilangan dengan basis 20 juga dipakai secara luas, sistem ini digunakan oleh orang indian di amerika dan yang tidak kalah terkenal sistem bilangan berbasis 20 ini digunakan oleh suku Maya (itu loh suku purba yang ngeramal kiamat tahun 2012).Jejak-jekak penggunaan sistem bilangan skala 20 juga ditemukan di Prancis, Denmark dan Wales.Sistem bilangan basis 20 ini lebih dikenal dengan nama skala vigesimal (vigesimal scale).
Bilangan yang mengenalkan nilai tempat pertama kali dikembangkan oleh bangsa Babilonia sekitar tahun 3.400 SM. Sistem bilangan ini disebut sistem seksagesimal, yaitu sistem bilangan berbasis 60.Sistem bilangan ini dipakai dalam perhitungan detik, menit, dan jam selama satu hari.Pada tahun 3.100 SM bangsa Mesir mengenalkan bilangan basis 10, sistem bilangan ini kemudian disebut sistem desimal.
Pada tahun 260 SM , bangsa Romawi mengembangkan sistem bilangan sendiri, sistem bilangan ini disebut bilangan Romawi, pada awalnya bilangan Romawi untuk 4 adalah IIII dan 50 berbertuk tanda panah. Sistem bilangan Romawi yang kita kenal sekarang merupakan moderenisasi sistem lama.
- I –> lambang bilangan 1
- V–> lambang bilangan 5
- X –> lambang bilangan 10
- L –> lambang bilangan 50
- C –> lambang bilangan 100
- D –> lambang bilangan 500
- M –> lambang bilangan 1000
Pada tahun 825 M seorang ahli matematika Persia Muhammad Ibnu Musa Al-Khawarizmi mengenalkan sistem bilangan arab dalam bukunya “ Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah” .Sistem bilangan ini menggunakan bilangan 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , nama bilangan arab adalah sbb :
0 : Sifr
1 : Wahid
2 : Isynaini
3 : Tsalatsa
4 : Arba’a
Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli.Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia.Hal ini karena secara
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya.Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain.Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli.Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli.Penamaan
tersebut dilakukan setelah zaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan.Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untuk menghitung.
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya.Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain.Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli.Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli.Penamaan
tersebut dilakukan setelah zaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan.Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untuk menghitung.
Bangun Ruang
Paling tidak ada enam wilayah yang dapat dipandang sebagai ’sumber’
penyumbang pengetahuan geometri, yaitu: Babilonia (4000SM-500SM), Yunani(600 SM - 400), Mesir(5000 SM - 500 SM), Jasirah Arab(600 -1500 AD),.India(1500 BC - 200 BC), dan Cina(100 SM - 1400).Tentu masih ada negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain.Namun, kurang signifikan atau belum terekam dalam tradisi tulisan.
penyumbang pengetahuan geometri, yaitu: Babilonia (4000SM-500SM), Yunani(600 SM - 400), Mesir(5000 SM - 500 SM), Jasirah Arab(600 -1500 AD),.India(1500 BC - 200 BC), dan Cina(100 SM - 1400).Tentu masih ada negara-negara penyumbang pengetahuan geometri yang lain.Namun, kurang signifikan atau belum terekam dalam tradisi tulisan.
Bangsa Babilonia menempati daerah subur yang membentang antara sungai Eufrat dan sungai Tigris di wilayah Timur Tengah.Pada mulanya, daerah ini ditempati oleh bangsa Sumeria.Pada saat itu, 3500 SM, atau sekitar 5000 tahun yang lalu telah hidup sangat maju.Banyak gedung dibangun seperti kota waktu kini. Sistem irigasi dan sawah pertanian juga telah berkembang.Geometri dipikirkan oleh para insinyur untuk keperluan pembangunan.
Pada sekitar seribu tahun kemudian, bangsa babilonia menggantikan posisi Sumeria menempati wilayah ini.Kita kenal negara yang dibangun bangsa ini beribukota Babilon.Selain melanjutkan mengembangkan geometri, mereka juga mengembangkan sistem bilangan yang kini kita kenal dengan ’sexagesimal’ berbasis 60.Kita masih menikmati (dan menggunakan) sistem ini ketika berbicara tentang waktu.
Mereka membagi hari ke dalam 24 jam.Satu jam dibagi menjadi 60 menit.Satu menit dibagi menjadi 60 detik.Kita mengatakan, misalnya, saat ini adalah pukul 9, 25 menit, 30 detik.Kalau dituliskan akan berbentuk pukul 9 25' 30", dan dalam sexagesimal dapat dituliskan sebagai 9 525/6030/3600.Sistem ini telah menggunakan nilai tempat eperti yang tika gunakan dewasa ini (dalam basis 10 bukan dalam basis 60).
Bangsa Babilonia mengembangkan cara mengitung luas dan volume.Di
antaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali
panjang garis tengahnya.Kita mengenal harga tiga ini mendekati harga π.
antaranya menghitung panjang keliling lingkaran yang sama dengan tiga kali
panjang garis tengahnya.Kita mengenal harga tiga ini mendekati harga π.
` Di Yunani, geometri mengalami masa ’emas’nya.Di Yunanilah, sekitar 2000
tahun yang lalu ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori
aksiomatis.Teori derpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja.Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma.Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan.Dari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri Euclides.Geometri yang kita ajarkan secara formal di sekolah merupakan ’kopi-an’ dari
geometri Euclides ini.
tahun yang lalu ditemukan teori yang kita kenal dewasa ini dengan nama teori
aksiomatis.Teori derpikir yang mendasarkan diri pada sesuatu yang paling dasar yang kebenarannya kita terima begitu saja.Kebenaran semacam ini kita sebut kebenaran aksioma.Dari sebuah aksioma diturunkan berbagai dalil baik dalil dasar maupun dalil turunan.Dari era ini, kita juga memperoleh warisan buku geometri yang hingga kini belum terbantahkan, yaitu geometri Euclides.Geometri yang kita ajarkan secara formal di sekolah merupakan ’kopi-an’ dari
geometri Euclides ini.
Bangsa Mesir mendiami wilayah yang sangat subur di sepanjang sungai Nil.Pertanian berkembang pesat.Pemerintah memerlukan cara untuk membagi petak-petak sawah dengan adil.Maka, geometri maju di sini karena menyajikan berbagai bentuk polygon yang di sesuaikan dengan keadaan wilayah di sepanjang sungai Nil itu.
Di awal perkembangan Islam, para pemimpin Islam menganjurkan agar menimba ilmu sebanyak mungkin.Kita kenal belajaralah hingga ke negeri Cina.Dalam era itu, Islam menyebar di Timur Tengah, Afrika Utara, Spanyol, Portugal, dan Persia.Para matematikawan Islam menyumbang pada pengembangan aljabar, asronomi, dan tri gonometri.Trigenometri merupakan salah satu pendekatan untuk menyelesaian masalah geometri secara aljabar.Kita mengenalnya menjadi geometri analitik.Mereka juga mengembangkan polinomial.
Di wilayah timur, India dan Cina dikenal penyumbang pengetahuan matematika yang handal.Di India, para matematikawan memiliki tugas untuk membuat berbagai bangunan pembakaran untuk korban di altar.Salah satu syaratnya adalah bentuk boleh (bahkan harus) berbeda tetapi luasnya harus sama.Misalnya, membuat pangunan pembekaran yang terdiri atas lima tingkat dan setiap tingkat terdiri 200 bata.Di antara dua tingkat yang urutan tidak boleh ada susunan bata yang sama persis.Saat itulah muncul ahli geometri di India.Tentu, bangunan itu juga dilengkapi dengan atap.Atap juga merupakan bagian tugas matematikawan India.Di sinilah berkembang teori - teori geometri.
Seperti cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain, matematika (termasuk geometri) juga dikembangkan oleh para ilmuwan Cina sejak 2000 tahun sebelum Masehi (atau sekitar 4000 tahun yang lalu).Kalau di Eropa terdapat buku ‘Unsur-unsur’, geometri Euclides yang mampu menembus waktu 2000 tahun tanpa tertandingi, di timur, Cina terdapat buku ‘Sembilan bab tentang matematika’ yang dibuat sekitar tahun179 oleh Liu Hui.Buku ini memuat
banyak masalah geometri.Di antaranya menghitung luas dan volume.Dalam buku itu juga mengupas hokum Pythagoras.Juga banyak dibicarakan tentang polygon.Pembaca juga dapat mencari tahu tentang makna bilangan sembilan bagi banyak orang Tionghoa di Indonesia.
banyak masalah geometri.Di antaranya menghitung luas dan volume.Dalam buku itu juga mengupas hokum Pythagoras.Juga banyak dibicarakan tentang polygon.Pembaca juga dapat mencari tahu tentang makna bilangan sembilan bagi banyak orang Tionghoa di Indonesia.
Teorema pythagoras
Pythagoras lahir di pulau Samos di Yunani kuno.Tidak ada kepastian mengenai tahun tepat ketika dia lahir, tetapi percaya bahwa itu adalah sekitar 570 SM yaitu sekitar 2.570 tahun yang lalu.Mereka saat-saat ketika seseorang percaya pada takhayul dan keyakinan yang kuat dalam dewa-dewa, roh, dan misterius.Kultus agama sangat populer di masa itu.Pythagoras ‘nama ayah dan mungkin Mnesarchus menjadi Phoenix.Nama ibunya adalah Pythais.Mnesarchus memastikan bahwa anaknya akan mendapatkan pendidikan terbaik Guru pertamanya adalah Pherecydes, dan Pythagoras tinggal di berhubungan dengan dia sampai Pherecydes kematian.Ketika Pythagoras adalah sekitar 18 tahun ia pergi ke pulau Lesbos di mana ia bekerja dan belajar dari Anaximander, astronom dan filsuf, dan Thales dari Miletus, filsuf yang sangat bijaksana dan matematika.Thales pernah mengunjungi Mesir dan merekomendasikan bahwa Pythagoras pergi ke Mesir. Pythagoras tiba di Mesir sekitar 547 SM ketika sudah 23 tahun.Dia tinggal di Mesir selama 21 tahun belajar berbagai hal termasuk geometri dari pendeta Mesir.Ini mungkin di Mesir di mana ia mempelajari teorema yang sekarang dipanggil dengan namanya.
Pythagoras Kembali ke Samos
Pada saat ia berusia sekitar 55 tahun ia kembali ke negeri asalnya dan memulai sebuah sekolah di Pulau Samos.Namun, karena kurangnya siswa ia memutuskan untuk pindah ke Croton dalam selatan Italia.Dalam Croton ia memulai sebuah sekolah yang terkonsentrasi dalam pengajaran dan pembelajaran Matematika, Musik, Filsafat, dan Astronomi dan hubungan mereka dengan Agama.Dikatakan bahwa sebanyak 600 worthiest dari orang-orang di kota menghadiri sekolah, termasuk Theana yang dinikahinya ketika ia adalah 60.Sekolah kemegahan tertinggi mencapai sekitar tahun 490 SM.Dia mengajarkan muda untuk menghormati orang tua dan untuk mengembangkan pikiran mereka melalui pembelajaran.Dia menekankan keadilan berdasarkan kesetaraan.Ketenangan dan kelembutan yang prinsip didorong di sekolah.Pythagorean menjadi dikenal dekat mereka persahabatan dan pengabdian satu sama lain.Lebih dari siapa pun sebelum dia Pythagoras menggabungkan ajaran-ajaran spiritual dengan pencarian pengetahuan dan sains.Pythagoras juga memimpin sebuah sekte rahasia yang dikenal sebagai persaudaraan yang menyembah angka dan hubungan numerik Mereka berusaha untuk menemukan penjelasan matematika untuk musik, para dewa, kosmos, dll Pythagoras percaya bahwa semua hubungan dapat dikurangi ke nomor hubungan.Pada suatu titik Pythagoras diasingkan dari Croton dan harus pindah ke Tarentum.Setelah 16 tahun ia harus bergerak lagi, kali ini untuk Metapontus di mana ia tinggal empat tahun sebelum ia meninggal pada usia 99.
Pengertian Teorema Pythagoras
“Teorema Pythagoras” dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teoroma ini.Akan tetapi banyak, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segitiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.Theoroma Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika.Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, dimana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar.Teoroma ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides diantara tiga sisi dari segi tiga siku-siku.Hal ini menyatakan bahwa ‘jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusanya’.
Secara sistematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2, dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusnya (sisi miring).
Sejarah dari teorema Pythagoras
Sejarah dari teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut :
- Pengetahuan dari Triple Pythagoras
- Hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan
- Bukti dari teorema
Sekitar 4000 tahun yang lalu, sebuah tablet tanah liat asal Babilonia ini ditemukan dengan tulisan berikut: “4 adalah panjang dan 5 diagonal.Selain itu, orang Cina juga tahu teorema ini.Hal ini disebabkan Tschou-Gun yang tinggal di 1100 SM.Dia mengetahui karakteristik dari sudut kanan.Teorema ini juga dikenal dengan Caldeans atau “Teorema Gougu’.Hal ini membuktikan bahwa telah jauh hari mereka menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang 3, 4,dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku.Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali kedalam 12 bagian yang sama,seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3,sisi kedua adalah 4,dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.
Selain itu, Orang Mesir tahu bahwa sebuah segitiga dengan sisi-sisi 3, 4, dan 5 membuat 90o sudut. Sebagai Sebenarnya, mereka mempunyai tali dengan 12 secara merata knot spasi seperti ini: Bahwa mereka digunakan untuk membangun sudut yang sempurna dalam bangunan dan piramida. Hal ini diyakini bahwa mereka hanya tahu tentang 3, 4, 5 segitiga dan bukan teorema umum yang berlaku untuk semua segitiga siku-siku.Jadi mengapa disebut Teorema Pythagoras? Walaupun teorema dikenal jauh sebelum waktu, pasti Pythagoras umum dan membuatnya populer.Itu adalah Pythagoras yang dikaitkan dengan geometris pertama demonstrasi. Itulah sebabnya dikenal sebagai Pythagoras Teorema.Ada ratusan demonstrasi geometris murni serta terbatas (yaitu kanan – jumlah tak terbatas) dari aljabar bukti.Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema paling penting di seluruh dunia geometri.Kami akan menutup bagian ini dengan menyatakan teorema ini dalam kata-kata: Alun-alun yang dijelaskan pada sisi miring pada segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah dari kuadrat yang dijelaskan di atas dua sisi lainnya.Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah: Ketika kedua belah pihak yang lebih pendek dalam segitiga siku-siku adalah kuadrat dan kemudian ditambahkan, sama dengan jumlah kuadrat sisi terpanjang atau sisi miring.
Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat.Bartel Leendert van der Waerden menghipotesiskan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar.Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790-1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Triple Pythagoras.Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras.Menurut Sir Tomas L. Heath, tidak ada penelitian sebab dari teorema ini.Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teoroma ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencapai Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri.Sekitar 300 SM, eleman Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teoroma tersebut.Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teoroma Pythagoras atau disebut dengan “Gougo Theorem” (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4,dan 5. Selama Dinasti han (202-220 SM).Tripel Pythagoras muncul di sembilan bab pada seni matematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku.Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah pythagoras adalah orang pertama yang menamukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya ditemukan.Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.
Kaum Pythagorean
Kaum Pythagorean sangat berjasa dalam meneruskan pemikiran-pemikiran Pythagoras. Semboyan mereka yang terkenal adalah “authos epha, ipse dixit” (dia sendiri yang telah mengatakan demikian).Dua kaum ini diorganisir menurut aturan-aturan hidup bersama, dan setiap orang wajib menaatinya.Mereka menganggap filsafat dan ilmu pengetahuan sebagai jalan hidup, sarana supaya setiap orang menjadi tahir, sehingga luput dari perpindahan jiwa terus-menerus.Diantara pengikut-pengikut Pythagoras di kemudian hari berkembang dua aliran. Yang pertama disebut akusmatikoi (akusma=apa yang telah didengar; peraturan): mereka mengindahkan penyucian dengan menaati semua peraturan secara seksama. Yang kedua disebut mathematikoi (mathesis = ilmu pengetahuan): mereka mengutamakan ilmu pengetahuan, khususnya ilmu pasti.Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya.Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang karismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya.Tidaklah mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah. Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah angka.Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir.Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.Nisbah-nisbah adalah kunci-kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka.Akhirnya mereka memilih proposi kedalam sepuluh kategori berbeda yan disebut titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling cantik di dunia : nisbah emas (golden ratio).Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi tetapi sesuatu yang terinspirasi dari nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sanat indah.Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandun nisbah emas nampak artistik.Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur.Parthenon, kuil Anthena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontuksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia barat pula.
Geometri euclides
Euclid Alexandria adalah yang paling menonjol matematika dari jaman dahulu dikenal terbaik untuk risalah-Nya pada matematika yang Elemen.Yang tahan lama sifat yang harus membuat Elemen Euclid terkemuka guru matematika dari semua waktu.Akan tetapi sedikit dari Euclid dikenal hidup kecuali bahwa dia diajarkan di Alexandria di Mesir.Proclus, terakhir besar filsuf Yunani, yang tinggal sekitar 450 AD wrote (atau melihat atau banyak sumber-sumber lain):
Tidak jauh dari muda ini [murid Plato ] Adalah Euclid, yang digabungkan dengan "Elemen", mengatur dalam rangka banyak Eudoxus' s theorems, baik banyak Theaetetus' s, dan juga membawa demonstrasi yang tak terbantahkan untuk hal-hal yang hanya ditulis secara luas telah terbukti dengan predecessors.Laki-laki ini tinggal di waktu pertama Ptolemy; untuk Archimedes, yang diikuti erat atas pertama Ptolemy membuat disebut-sebut Euclid, dan lebih lanjut mereka mengatakan bahwa Ptolemy sekali bertanya jika ada yang shorted cara untuk belajar dari Elemen geometri, yang dia menjawab bahwa tidak ada jalan untuk kerajaan geometri.Ia muda karena itu, daripada Plato's lingkaran, tetapi yang lebih tua dari Eratosthenes dan Archimedes; ini adalah untuk berlanjut, sebagai suatu kata Eratosthenes.Dalam tujuan dia adalah seorang Platonist, sedang dalam simpati dengan falsafah ini, mengapa ia dibuat pada akhir seluruh "Elemen" pembangunan yang disebut Platonis angka.
Ada informasi lain tentang Euclid yang diberikan oleh penulis tertentu tetapi tidak berpikir untuk dapat dipercaya.Dua jenis ini ada informasi tambahan.Jenis pertama adalah informasi tambahan yang diberikan oleh penulis Arab yang menyatakan bahwa Euclid adalah putra Naucrates dan bahwa dia dilahirkan di Tire. Dipercaya oleh sejarawan matematika bahwa ini adalah sepenuhnya samaran dan hanya jadian oleh penulis.
Kedua jenis informasi yang Euclid lahir di Megara.Hal ini disebabkan oleh kesalahan pada bagian dari penulis pertama yang memberikan informasi ini.Bahkan ada Euclid dari Megara, yang adalah seorang filsuf yang tinggal sekitar 100 tahun sebelum Euclid matematika dari Alexandria.Hal ini tidak terjadi karena kebetulan yang mungkin terlihat bahwa ada dua laki-laki bernama Euclid belajar.Bahkan Euclid adalah nama yang sangat umum dan sekitar periode ini adalah satu komplikasi lebih lanjut yang membuatnya sulit untuk mengetahui informasi tentang Euclid dari Alexandria sejak terdapat banyak referensi untuk laki-laki bernama Euclid dalam literatur periode ini.
Kembali ke kutipan dari Proclus diberikan di atas, yang pertama adalah untuk membuat jalur yang ada tidak konsisten dalam kencan diberikan.Namun, walaupun kita tidak mengetahui dengan pasti apa yang tepat untuk referensi Euclid di Archimedes' bekerja Proclus ada di dalamnya, di bawah apa yang telah datang kepada kami hanya ada satu referensi untuk Euclid dan ini terjadi di Pada bola dan silinder.Yang menonjol kesimpulan, karena itu, adalah bahwa semua adalah baik dengan argumen Proclus dan ini diasumsikan telah sampai di Hjelmslev hambatan.Dia menyatakan bahwa referensi untuk Euclid telah ditambahkan ke Archimedes buku di lain panggung, dan itu memang agak mengejutkan adalah referensi.Ia tidak tradisi waktu untuk memberikan referensi tersebut, apalagi banyak terdapat tempat-tempat lain di Archimedes di mana ia akan sesuai untuk merujuk kepada Euclid dan tidak ada referensi tersebut. Meskipun Hjelmslev's klaim bahwa gang telah ditambahkan nanti, Bulmer-Thomas menulis di:
Walaupun tidak mungkin lagi untuk mengandalkan referensi ini, yang umum pertimbangan Euclid karya ... masih menunjukkan bahwa ia harus memiliki murid tersebut ditulis setelah Plato sebagai Eudoxus dan sebelum Archimedes.
Untuk diskusi lebih lanjut tentang kencan Euclid, lihat misalnya. Ini jauh dari sebuah akhir ke argumen tentang Euclid yang matematika. Dalam situasi yang terbaik summed oleh Itard yang memberikan tiga kemungkinan hypotheses.
(i) Euclid adalah karakter sejarah yang menulis dan Elemen lain yang diberikan kepadanya.
(ii) Euclid adalah pemimpin dari sebuah tim yang hebat matematika bekerja di Alexandria. Mereka semua berkontribusi untuk menulis' lengkap karya Euclid ', bahkan melanjutkan untuk menulis buku Euclid di bawah nama setelah kematiannya.
(iii) Euclid tidak sebuah sejarah karakter. Yang 'lengkap karya Euclid' yang ditulis oleh sebuah tim yang hebat matematika di Alexandria yang mengambil nama Euclid dari sejarah karakter Euclid dari Megara yang tinggal sekitar 100 tahun sebelumnya.
Perlu remarking yang Itard, yang menerima Hjelmslev's klaim bahwa petikan tentang Euclid telah ditambahkan ke Archimedes, hadiah kedua dari tiga kemungkinan kami yang tercantum di atas. Kami harus, namun, membuat beberapa komentar mengenai kemungkinan yang ketiga, adalah adil untuk berkata, jumlah cantik dengan baik semua kemungkinan saat ini teori.
Ada beberapa bukti kuat untuk menerima (i).Ia telah diterima tanpa pertanyaan oleh semua orang selama lebih dari 2.000 tahun dan ada sedikit bukti yang tidak konsisten dengan statistik ini. Memang benar ada perbedaan dalam gaya antara beberapa buku dari Elemen pengarang berbeda, namun mereka banyak gaya.Sekali lagi fakta yang tak diragukan lagi Euclid didasarkan pada Elemen yang sebelumnya bekerja berarti akan agak luar biasa jika tidak ada jejak dari gaya penulis asli tetap.
Bahkan jika kita menerima (i) kemudian ada sedikit keraguan Euclid yang dibangun atas sebuah sekolah yang penuh semangat dari matematika di Alexandria. Karena itu dia akan dapat memiliki beberapa murid yang telah membantu dalam menulis buku. Namun hipotesa (ii) pergi jauh lebih lama dari ini dan akan menyarankan yang berbeda buku-buku yang ditulis oleh berbagai hebat matematika. Selain perbedaan dalam gaya yang disebutkan di atas, ada sedikit bukti langsung ini.
Meskipun secara sepintas lalu (iii) mungkin terlihat yang paling ajaib dari tiga saran, akan tetapi 20 abad contoh Bourbaki menunjukkan bahwa itu jauh dari mustahil. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley, dan Alexander Grothendieck wrote bersama-sama dengan nama Bourbaki dan Bourbaki 's Elemen de mathématiques berisi lebih dari 30 volume. Tentu saja jika (iii) adalah benar maka hipotesa Apollonius, yang belajar dengan murid Euclid di Alexandria, harus diketahui tidak ada orang 'Euclid' tetapi kenyataan bahwa dia menulis:
.... Euclid tidak menyepakati syntheses dari tempat terhadap tiga dan empat baris, tetapi hanya bagian dari kesempatan itu ...
tentu tidak membuktikan bahwa Euclid adalah karakter sejarah sejak terdapat banyak referensi untuk Bourbaki serupa dengan hebat matematika yang mengetahui sempurna Bourbaki baik yang telah dibuat-buat. Namun demikian hebat matematika yang dibuat pada Bourbaki semua tim yang terkenal di kanan mereka sendiri dan ini mungkin yang paling besar terhadap argumen hipotesa (iii) di bahwa 'Euclid tim' tersebut sudah memiliki terdiri dari beredar hebat matematika. Jadi yang mereka?
Kami akan menganggap bahwa dalam artikel ini hipotesa (i) adalah benar tetapi, tidak memiliki pengetahuan tentang Euclid, kami harus berkonsentrasi pada karya-karyanya setelah membuat beberapa komentar kemungkinan adanya peristiwa sejarah. Euclid harus belajar di Akademi Plato's di Athena untuk belajar dari dari geometri Eudoxus dan Theaetetus yang ia sangat akrab.
Tidak satupun karya Euclid memiliki kata, setidaknya tidak ada yang datang ke bawah sehingga kami sangat tidak mungkin ada yang pernah ada, jadi kami tidak dapat melihat salah satu dari kita, seperti yang kita dapat dari beberapa Yunani lain yang hebat matematika, dari sifat mereka prefaces . Pappus menulis (lihat misalnya) yang Euclid adalah:
... paling adil dan baik hati terhadap semua yang ada di dapat mengukur untuk memajukan matematika, tidak hati-hati dalam memberikan cara untuk pelanggaran, dan meskipun yang tidak tepat sarjana vaunting dirinya.
Beberapa klaim kata-kata ini telah ditambahkan ke Pappus, dan tentunya sudut pelayaran (dalam lanjutan yang telah kami tidak dikutip) adalah untuk berbicara dgn keras (dan hampir pasti tidak adil) dari Apollonius. Gambar yang diambil oleh Euclid adalah Pappus Namun, tentu sejalan dengan bukti dari teks matematika. Lain cerita yang diceritakan oleh Stobaeus adalah sebagai berikut:
... seseorang yang telah bermula dengan mempelajari geometri Euclid, ketika dia belajar pertama Teorema, diminta Euclid "Apa yang harus saya terima dengan belajar hal ini?" Euclid disebut hamba-Nya dan berkata "Berikan threepence dia sejak ia membuat harus mendapatkan dari apa yang dia belajar".
Euclid yang paling terkenal adalah risalah bekerja pada matematika yang Elemen. Buku ini adalah kompilasi pengetahuan yang menjadi pusat pengajaran matematika untuk tahun 2000. Mungkin tidak ada hasil dalam Elemen pertama yang terbukti dengan Euclid tetapi organisasi dari bahan dan eksposisi yang pasti karena dia. Bahkan ada bukti yang cukup Euclid adalah menggunakan buku sebagai sebelumnya ia menulis Elemen sejak ia memperkenalkan banyak definisi yang tidak digunakan seperti yang yang berbentuk persegi panjang, yang belah ketupat, dan genjang.
Elemen yang diawali dengan definisi dan lima postulates. Yang pertama adalah postulates tiga postulates dari konstruksi, misalnya pertama mendalilkan menyatakan bahwa ada kemungkinan untuk menggambar garis lurus antara setiap dua poin. Postulates implisit ini juga menganggap keberadaan titik-titik, garis dan lingkaran dan kemudian keberadaan objek geometris lain adalah deduced dari fakta yang ada. Ada asumsi lain di postulates yang tidak eksplisit. Misalnya diasumsikan bahwa ada yang unik baris setiap dua poin bergabung. Demikian pula postulates dua dan tiga, pada garis lurus produksi dan menggambar lingkaran, masing-masing, menganggap keunikan dari objek kemungkinan konstruksi yang sedang postulated.
Keempat dan kelima postulates adalah dari sifat yang berbeda. Mendalilkan empat menyatakan bahwa semua sudut kanan adalah sama. Mungkin kelihatannya "jelas" tetapi sebenarnya bahwa di ruang homogen - oleh kami ini berarti bahwa sebuah gambar akan bergantung pada posisi di dalam ruang yang dimasukkan. Yang terkenal kelima, atau paralel, mendalilkan menyatakan bahwa satu dan hanya satu baris dapat ditarik melalui jalur paralel ke suatu baris. Euclid untuk membuat keputusan yang mendalilkan ini menyebabkan geometri Euclidean. Ia tidak sampai abad ke-19 ini yang mendalilkan telah jatuh dan non-euclidean geometries adalah belajar.
Ada juga yang axioms panggilan Euclid 'umum tentang'. Ini tidak spesifik geometris properti tetapi asumsi umum yang memungkinkan untuk melanjutkan matematika sebagai ilmu deduktif. Misalnya:
Hal yang sama untuk hal yang sama untuk masing-masing adalah sama lain.
Zeno dari Sidon, sekitar 250 tahun setelah Euclid wrote Elemen, tampaknya telah pertama untuk menunjukkan bahwa Euclid's propositions tidak deduced dari postulates dan axioms sendiri, dan tidak Euclid membuat asumsi lain halus.
Elemen yang terbagi dalam 13 buku. Buku satu sampai enam menangani pesawat geometri.Secara khusus buku satu dan dua ditetapkan properti dasar dari segitiga, sejajar, parallelograms, Rectangles dan kotak.Buku tiga studi properti dari lingkaran sementara buku empat menangani masalah tentang lingkaran dan sebagian besar adalah pemikiran untuk berangkat kerja dari pengikut Pythagoras.Buku lima lays out pekerjaan Eudoxus untuk diterapkan pada proporsi seimbang dan tdk dpt dibandingkan magnitudes. Heath mengatakan:
Matematika Yunani tidak dapat berbual-bual halus penemuan dari teori ini, yang mengenakan suara jadi pijakan banyak geometri sebagai bergantung pada penggunaan proporsi.
Buku enam melihat aplikasi dari hasil buku ke lima pesawat geometri.
Buku ke tujuh sembilan berurusan dengan nomor teori. Secara khusus buku tujuh adalah serba lengkap untuk pengenalan nomor teori dan berisi algoritma Euclidean untuk menemukan pembagi umum terbesar nomor dua. Buku terlihat di delapan nomor di deret ukur tetapi van der Waerden menulis di bahwa berisi:
... bagong enunciations, perlu pengulangan, dan bahkan logis fallacies. Tampaknya Euclid's eksposisi excelled hanya orang-orang di bagian di mana dia sangat baik sumber di pembuangan.
Buku sepuluh berurusan dengan teori irasional nomor dan terutama pekerjaan Theaetetus. Euclid mengubah keterangan dari beberapa theorems dalam buku ini sehingga mereka pas baru yang dimaksud dengan proporsi yang diberikan oleh Eudoxus.
Buku ke tiga belas sebelas berurusan dengan tiga dimensi geometri.Dalam tiga belas buku dasar definisi yang diperlukan untuk tiga buku bersama diberikan.Theorems yang kemudian mengikuti pola yang sama untuk kedua-dimensi analog sebelumnya yang diberikan dalam buku satu dan empat.Utama hasil dari dua belas buku yang satu ke lingkaran yang lain sebagai kotak Diameter dan mereka yang ke setiap sudut yang lain sebagai cubes mereka Diameter. Ini hasil yang pasti karena Eudoxus.Euclid ini membuktikan theorems menggunakan "metode kelelahan" sebagai masakan oleh Eudoxus. Elemen yang berakhir dengan tiga belas buku yang membahas properti dari lima polyhedra biasa dan memberikan bukti bahwa terdapat lima tepat. Buku ini tampaknya sebagian besar didasarkan pada sebuah risalah oleh Theaetetus sebelumnya.Euclid's Elemen adalah luar biasa untuk kejelasan dengan yang theorems yang menyatakan dan membuktikan. Standar kekerasan telah menjadi tujuan untuk pelabur dari hitungan abad kemudian. Sebagai Heath menulis di:
Buku ini aneh, dengan semua imperfections, yang memang cukup sedikit bila account ini diambil dari tanggal ternyata, dan pasti akan tetap terbesar dari semua buku matematika waktu. ... Bahkan di Yunani kali paling hebat matematika sibuk menyelesaikan sendiri dengan: Heron, Pappus, Porphyry, Proclus dan Simplicius wrote komentar; Theon Alexandria kembali diedit itu, mengubah bahasa di sana sini, kebanyakan dengan maksud untuk lebih jelasnya dan konsistensi. ..
Ini adalah sebuah cerita menarik bagaimana Elemen Euclid telah bertahan dari waktu dan ini adalah kepada baik oleh Fowler dalam. Dia menjelaskan paling awal bahan yang berkaitan dengan Elemen yang telah bertahan:
Awal kami sekilas tentang Euclidean akan bahan yang paling luar biasa selama seribu tahun, enam terpisah-pisah ostraca berisi teks dan gambar ... ditemukan di Elephantine di Pulau 1906/07 dan 1907/08 ... Teks ini adalah awal, meski masih lebih dari 100 tahun setelah kematian Plato (Mereka pada tanggal palaeographic alasan untuk ketiga seperempat abad ketiga SM); lanjutan (mereka berurusan dengan hasil ditemukan di "Elemen" [tiga belas buku] ... pada pentagon, segi enam, decagon, dan icosahedron); dan mereka tidak mengikuti teks dari Elemen. ... Maka mereka memberikan bukti dari seseorang di abad ketiga SM, terdapat lebih dari 500 mil sebelah selatan Alexandria, yang bekerja melalui bahan ini sulit ... ini mungkin sebuah upaya untuk memahami matematika, dan tidak seorang budak menyalin ...
Berikutnya fragmen yang telah kami dari tanggal 75 - 125 AD dan kembali muncul menjadi catatan oleh seseorang mencoba untuk memahami materi dari Elemen.
Lebih dari seribu satu edisi Elemen yang telah dipublikasikan sejak ia pertama dicetak di 1482. Heath membahas banyak dari edisi dan menggambarkan kemungkinan perubahan teks selama bertahun-tahun.
BL van der Waerden menilai pentingnya keberadaan Elemen dalam:
Hampir dari waktu yang menulis dan berlangsung selama hampir hingga saat ini, yang telah Elemen exerted yang kontinyu dan besar terhadap urusan manusia. Itu adalah sumber utama geometris alasan, theorems, dan metode setidaknya sampai kedatangan tidak Geometri Euclidean di abad ke-19. Sering sekali mengatakan bahwa, di samping Alkitab, "Elemen" yang paling mungkin diterjemahkan, diterbitkan, dan belajar dari semua buku-buku yang dihasilkan di dunia Barat.
Euclid juga menulis buku-buku berikut yang telah bertahan: Data (dengan 94 propositions), yang tampak di properti dari angka yang dapat deduced properti lain ketika diberikan; Pada Divisi-divisi yang terlihat di konstruksi untuk membagi sebuah gambar menjadi dua bagian dengan wilayah yang diberikan rasio; optik yang pertama bekerja di Yunani perspektif; dan Phaenomena yang merupakan dasar untuk pengenalan matematika dan astronomi memberikan hasil pada waktu bintang di posisi tertentu akan meningkat dan ditetapkan. Euclid's berikut buku semuanya telah hilang: Permukaan Loci (dua buku), Porisms (tiga buku dengan bekerja, menurut Pappus, 171 theorems dan 38 lemmas), Conics (empat buku), dan Kitab Fallacies Elemen of Music. Buku Fallacies yang dijelaskan oleh Proclus:
Karena banyak hal-hal tampaknya untuk mengikuti dengan kebenaran dan mengikuti prinsip-prinsip dari ilmiah, tetapi memimpin tersesat dari prinsip-prinsip dan menipu yang lebih dangkal, [Euclid] telah turun tangan untuk metode yang jelas-mata pemahaman tentang hal ini juga ... Risalah yang di mana dia memberikan ini mesin untuk kami berhak Fallacies, dalam rangka enumerating berbagai macam, kami melaksanakan intelijen dalam setiap kasus oleh theorems dari berbagai macam, pengaturan yang benar berdampingan dengan palsu, dan menggabungkan sanggahan dari kesalahan praktis dengan ilustrasi.
Musik adalah elemen kerja yang dikaitkan dengan Euclid oleh Proclus.Kami memiliki dua treatises pada musik yang telah bertahan, dan memiliki beberapa oleh penulis Euclid berkat, tetapi sekarang berpikir bahwa mereka yang tidak bekerja sebagaimana dimaksud pada musik oleh Proclus.
Euclid mungkin belum pertama kelas matematika tetapi tahan lama sifat yang harus membuat dia Elemen terkemuka guru matematika dari jaman dahulu atau mungkin dari semua waktu. Sebagai catatan pribadi akhir hendaklah me menambahkan bahwa saya [EFR] sendiri untuk pengenalan matematika di sekolah pada tahun 1950 adalah sebuah edisi dari bagian dari Euclid's Elemen dan pekerjaan yang diberikan logis dasar untuk matematika dan konsep bukti yang terlihat kurang matematika di sekolah hari ini.
Geometri non euclides
Pada sekitar 300 SM Euclid menulis The Elements, sebuah buku yang menjadi salah satu buku paling terkenal yang pernah ditulis. Euclid menyatakan lima postulat yang ia dasarkan pada semua teoremanya
1. Untuk menarik garis lurus dari titik apapun kepada yang lain.
2. Untuk menghasilkan garis lurus hingga terus menerus dalam garis lurus.
3. Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak.
3. Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak.
4. Itu semua sudut kanan sama satu sama lain.
5. Bahwa, jika sebuah garis lurus jatuh pada dua garis lurus membuat sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut kanan, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat.
Jelas bahwa postulat kelima berbeda dari keempat lainnya. Itu tidak memuaskan Euclid dan ia berusaha menghindari penggunaannya selama mungkin - sebenarnya 28 proposisi pertama The Elements terbukti tanpa menggunakannya.Komentar lain yang layak membuat pada saat ini adalah bahwa Euclid, dan banyak yang mengikutinya, diasumsikan bahwa garis lurus yang tak terbatas.Proclus (410-485) menulis komentar di The Elements mana dia komentar pada bukti-bukti mencoba untuk menyimpulkan dalil kelima dari empat lainnya, khususnya ia mencatat bahwa Ptolemy telah menghasilkan 'bukti' palsu.Proclus kemudian melanjutkan untuk memberikan bukti palsu sendiri.Namun ia tidak memberikan dalil berikut ini yang setara dengan postulat kelima.Playfair's Aksioma: - Mengingat garis dan titik tidak di baris tersebut, adalah mungkin untuk menarik tepat satu garis melalui titik sejajar ke garis.
Meskipun terkenal dari zaman Proclus, ini menjadi dikenal sebagai Playfair's Aksioma setelah John Playfair menulis komentar terkenal pada Euclid tahun 1795 di mana ia mengusulkan menggantikan postulat kelima Euclid dengan aksioma ini.Banyak usaha dilakukan untuk membuktikan dalil kelima dari empat lainnya, banyak dari mereka yang diterima sebagai bukti untuk jangka waktu sampai kesalahan itu ditemukan. Selalu kesalahan itu dengan asumsi beberapa 'jelas' properti yang ternyata setara dengan dalil kelima. 'Bukti' Satu tersebut diberikan oleh Wallis tahun 1663 ketika ia berpikir bahwa ia telah menyimpulkan dalil kelima, tapi ia benar-benar menunjukkan hal itu adalah setara dengan : Untuk setiap segitiga, terdapat sebuah segitiga yang sama besarnya sewenang-wenang.Salah satu bukti mencoba ternyata lebih penting daripada kebanyakan orang lain. Ini diproduksi tahun 1697 oleh Girolamo Saccheri.Pentingnya kerja Saccheri adalah bahwa ia dianggap dalil kelima palsu dan berusaha untuk mendapatkan kontradiksi.
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang.
Irisan kerucut yang paling terkenal adalah lingkaran dan elips. Keduanya terbentuk ketika irisan kerucut membentuk kurva tertutup. Jika bidang yang mengiris kerucut ternyata sejajar dengan garis pada kerucut, irisannya disebut parabola. Dan jika irisannya membentuk kurva terbuka, dan bidangnya tidak sejajar dengan garis pada kerucut, irisan yang dihasilkan adalah hiperbola.
Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.Jika terdapat persamaan dengan bentuk: ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0 maka:
Irisan kerucut yang paling terkenal adalah lingkaran dan elips. Keduanya terbentuk ketika irisan kerucut membentuk kurva tertutup. Jika bidang yang mengiris kerucut ternyata sejajar dengan garis pada kerucut, irisannya disebut parabola. Dan jika irisannya membentuk kurva terbuka, dan bidangnya tidak sejajar dengan garis pada kerucut, irisan yang dihasilkan adalah hiperbola.
Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.Jika terdapat persamaan dengan bentuk: ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0 maka:
• Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
• Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
• Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
• Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
• Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.
Teori Himpunan
Orang yang pertama kali menemukan teori himpunan adalah Georg Cantor pada akhir abad 19. Georg Cantor(1845-1918) adalah seorang matematikawan asal Jerman keturunan Yahudi. Nama lengkapnya adalah Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, lahir di St Petersburg, Russia 3 Maret 1845 dan meninggal di Halle, Jerman 6 Januari 1918. Dia dianggap sebagai bapak teori himpunan karena dialah yang mengembangkan pertamakali cabang matematika. Demikian pula ide-idenya mengenai himpunan terutama mengenai tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan tak hingga.
Struktur Aljabar
Khawarizmi adalah salah seorang ilmuwan terhebat pada abad pertengahan dan merupakan ahli matematika terpenting yang terkenal dengan sebutan Bapak Aljabar. Dia menulis buku Al-Jem wa l-afraq bi Hisab al-Hind yang juga disebut Hisab al-Adad al-Hind pada bidang aritmatika yang menggunakan bilangan numerik India termasuk angka nol dan notasi desimal untuk pertama kalinya. Hal ini berkaitan dengan empat operasi dasar matematika, yaitu penambahan, pembagian, pengurangan, dan perkalian.
Kini, naskah asli dalam bahasa Arab buku tersebut sudah hilang, hanya tersedia terjemahan latinnya saja. Bukunya yang lain juga sudah raib tak ketahuan rimbanya. Karya klasikalnya yang terbaik di bidang aljabar adalah buku Al-Mukhtasar di Hisab al-jabr wa l-Muqabala. Buku ini juga diterjemahkan dalam bahasa Latin pada abad pertengahan dan menjadi rujukan utama sejarah matematika.
Buku yang menyajikan lebih dari 800 contoh kasus ini menjadi rujukan dalam memecahkan masalah-masalah keseharian yang dihadapi umat Islam menyangkut masalah tempat tinggal, warisan, hukum, pembagian harta, dan perdagangan.
Buku aslinya yang berbahasa Arab pertama kali ditulis pada tahun 820 M dan diterjemahkan dalam bahasa Latin pada abad ke-12. Patut digarisbawahi bahwa istilah Aljabar (dalam bahasa Latin Algebra) yang ditemukan dalam khasanah bahasa Eropa pada kategori istilah-istilah kuno bidang matematika dan algoritma, adalah bentuk penyimpangan dari nama Khawarizmi.
Arti Aljabar sesungguhnya dalam bahasa Arab adalah pengembalian dengan memindahkan bilangan negatif ke sisi persamaan lainnya agar bilangan tersebut menjadi positif. Adapun istilah Muqabala mengandung pengertian proses menyisihkan bilangan identik dari dua sisi persamaan. Akan tetapi, terjemahan terbaik untuk Hisab al-Jabr wa l-Muqabala, seperti yang diperkenalkan John K Baumgart, adalah ilmu tentang persamaan, sehingga aljabar yang dimaksudkan Khawarizmi adalah retorika bentuk persamaan.
Khawarizmi juga memberikan konsep dasar persamaan kuadrat yang dapat digunakan untuk pembuktian kasus-kasus angka geometri. Konsep dasar aljabar pertama kali diperkenalkan sebagai disiplin ilmu matematika yang independen. Kemudian aljabar diuraikan dengan sangat teliti oleh Khawarizmi untuk diformulasikan menjadi alat analisis menyelesaikan beragam kasus persamaan kuadrat. Formulasi ini dijelaskannya melalui metode penggunaan contoh-contoh praktis. Buku karya Khwarizmi, Hisab al-Jabr wa l-Muqabala tersebut, kini terus digunakan dalam aplikasi ilmu matematika.
Struktur Geometri
Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udaradan api.Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma.Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udara dan air.Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid.Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.
Paradoks Matematika
Kalau kita perhatikan jalur kereta api, sepertinya dua rel tersebut akan bertemu di titik tertentu.Padahal dalam prinsif matematika dua garis yang sejajar tidak akan ketemu.Inilah salahsatu contoh paradoks matematika.Paradoks matematika adalah suatu keadaan yang sepertinya benar padahal salah. ada beberapa paradoks matematika yang dikenal seperti angka nol, dalam perkalian khan berlaku jika 12 x 2 = 24, dimana 12 = 24 / 2 atau 2 = 24 / 12, bila 12 x 0 = 0 harusnya berlaku juga 12 = 0 / 0 atau 0 = 0 / 12, pada kenyataanya tidak.
